TRANSFORMADA DE LAPLACE EN CIRCUITOS R-L-C

 

Es importante tener un previo conocimiento para el trato del siguiente tema, el contenido de este video posicionado, es sobre una breve abreviatura sobre transformada de Laplace, y si deseas recoger un recuento sobre las propiedades de la misma abajo del video se encuentra otro link que puedes utilizar.

Link transformada de laplace ( propiedades)

INTRODUCCIÓN

La transformada de Laplace tiene un papel fundamental en los sistemas de ingeniería, ya que permite, entre otras cosas, resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes.[1] En la resolución de ecuaciones diferenciales que conforman circuitos RLC, dicha ecuación que está en un dominio del tiempo, mediante la transformada de Laplace pasa al dominio en campo s, dominio de Laplace. Una vez resuelto, efectuando las respectivas operaciones algebraicas, se aplica Transformada Inversa de Laplace para obtener la respuesta en el dominio del tiempo. [2]

FUNDAMENTO TEÓRICO

La transformada de Laplace toma una función f(t) que utiliza al tiempo como variable t y la transforma en una función F(s) de otra variable s. Dicha transformada se define mediante la expresión

Donde s es una variable completa y a su vez ;        

 es llamado el núcleo de la transformación.

CIRCUITOS ELÉCTRICOS RLC

Un circuito es una red eléctrica que contiene al menos una trayectoria cerrada.[3]

 Los circuitos eléctricos pasivos RLC son circuitos lineales construidos con tres elementos básicos: 

✅resistores ( tiene resistencia R, medida en ohms Ω)

✅capacitores (tiene capacitancia C, medida en faradios F) 

✅inductores ( tiene inductancia L, medida en henrio H)

Junto con las variables asociadas corriente i(t) (medida en amperes A) y voltaje v(t) (medido en volt V), además, el flujo de corriente en el circuito está relacionado con la carga q(t) (medida en coulombs C) de la siguiente manera:

  (1)

Las relaciones entre el flujo de corriente i(t) y la caída de voltaje v(t) a través de los elementos en el tiempo t son:

✅Caída de voltaje a través de la resistencia -> Ri 

✅Caída de voltaje a través del capacitor 

Las leyes de Kirchhoff se aplican en la interacción de cada uno de los elementos del circuito.

🔆Ley 1: La suma algebraica de todas las corrientes que entrar a cualquier unión de un circuito es cero. 

🔆Ley 2: La suma algebraica de la caída de voltaje alrededor de cualquier curva cerrada en un circuito es cero. 

El uso de estas leyes nos lleva a las ecuaciones del circuito, las cuales pueden ser analizadas mediante las técnicas de la transformada de Laplace.

APLICACIONES

Un circuito RLC Fig. 2 conectado en serie tiene una fuente de voltaje dada por E(t) 50 = voltios, un resistor de 2 W , un inductor de 1 H y un capacitor de 0.5 F las condiciones iniciales con el circuito abierto son q(0)=0 y i(0) =0, determinar la corriente en el circuito para t > 0. [4]

👀es la corriente en el circuito RLC en cualquier momento t.

Datos del problema:

E(t) = 50 volts.

R= 2 W

L= 1 H

C= 0.5 F

Condiciones iniciales:

 

i (0)=0 y q(0)=0

Utilizando la segunda ley de Kirchhoff . Para el circuito eléctrico RLC se tiene:

Sabiendo que:

Reemplazando (2) en (1), se tiene:

Reemplazando los valores R, L, C y E(t), se tiene:

Aplicando la transformación de Laplace en (4)

Aplicando la transformada de la derivada, la integral de Laplace y condiciones iniciales en (5)

Despejando

se tiene: (6)

Luego aplicando la trasformación inversa de Laplace a la ecuación (6) se tiene:

Realizando las operaciones debidas, aplicando las formulas de la tranformada de laplace directa se obtiene, la siguiente solución:

CONCLUSIÓN

La transformada de Laplace y su inversa, benefician a la resolución de problemas en los circuitos eléctricos, pues por medio del análisis en el sistema se formulan ecuaciones diferenciales lineales, en la cual facilita la búsqueda de soluciones de variables como la corriente.

En circuitos eléctricos las condiciones iniciales son de gran importancia para adaptar las propiedades de la transformada de Laplace y su inversa, pues ellas se ajustan a seguir determinados procesos para llegar a una solución.

Además se puede observar que la transformada de Laplace es una herramienta especialmente útil para resolver ecuaciones complejas de forma sistemática, ya que permite evitar realizar cálculos que resulten muy tediosos. Esta técnica, es sin duda un recurso fundamental para un estudiante de ingeniería debido a que permite optimizar el tiempo utilizado en la resolución de un problema.

REFERENCIAS

[1] A. S. M. Morelo, «Análisis matemático para ingenieria,» [En línea]. Available: http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C09_Transformada_Laplace.pdf.

[2] A. Flores, «google scholar,» 15 Abril 2017. [En línea]. Available: http://repositorio.unap.edu.pe/bitstream/handle/UNAP/6518/Mamani_Flores_Adelina.pdf?sequence=3&isAllowed=y. [Último acceso: 14 Febrero 2021].

[3] C. Augusto, «Temas de calculo,» 20 Septiembre 2019. [En línea]. Available: https://temasdecalculo2.wordpress.com/2019/09/20/3-3-transformada-de-laplace-y-aplicaciones-a-circuitos-electricos-laplace/. [Último acceso: 14 Febrero 2021].

[4] D. Martín, «Función Transferencia y Respuesta Impulsiva,» Universidad Nacional del Sur, Argentina, 2011.